Algebra lineare Esempi

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Passaggio 1

Calcola la distanza da $(a, b)$ all'origine usando la formula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Semplifica $\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $0$ per $3$ .

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Passaggio 2.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$r = \sqrt{9 + 0}$

Passaggio 2.9

Somma $9$ e $0$ .

$r = \sqrt{9}$

Passaggio 2.10

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$r = \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 2.11

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$r = 3$

Passaggio 3

Calcola l'angolo di riferimento $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Passaggio 4

Semplifica $\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

Passaggio 4.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

Passaggio 4.3.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.4.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

Passaggio 4.5

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$θ̂ = \arctan (0)$

Passaggio 4.6

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$θ̂ = 0$

Passaggio 5

Trova il quadrante.

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Passaggio 5.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

Passaggio 5.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

Passaggio 5.3

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

Passaggio 5.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

Passaggio 5.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$(- 3, 0 \cdot 3)$

Passaggio 5.6

Moltiplica $0$ per $3$ .

$(- 3, 0)$

Passaggio 5.7

Poiché la coordinata x è negativa e la coordinata y è $0$ , il punto di trova sull'asse x tra il secondo e il terzo quadrante. I quadranti sono etichettati in senso antiorario a partire da quello in alto a destra.

Tra quadrante $2$ e $3$ .

Passaggio 6

Usa la formula per trovare le radici del numero complesso.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Passaggio 7

Sostituisci $r$ , $n$ e $θ$ nella formula.

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Passaggio 7.1

${(3)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{θ + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Passaggio 7.2

$c$ e $\frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Passaggio 7.3

$i$ e $\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Passaggio 7.4

$s$ e $\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Passaggio 7.5

Rimuovi le parentesi.

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Passaggio 7.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Passaggio 7.5.2

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Passaggio 7.5.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}$

Passaggio 7.5.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Passaggio 7.5.5

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}$

Passaggio 7.5.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Passaggio 7.5.7

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Passaggio 8

Sostituisci $k = 0$ nella formula e semplifica.

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Passaggio 8.1

Rimuovi le parentesi.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2 π (0)$ .

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0 π}{2})$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

Passaggio 9

Sostituisci $k = 1$ nella formula e semplifica.

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Passaggio 9.1

Rimuovi le parentesi.

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Passaggio 9.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

Passaggio 10

Elenca le soluzioni.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$